Description#

有M个球，一开始每个球均有一个初始标号，标号范围为1～N且为整数，标号为i的球有ai个，并保证Σai = M。 每次操作等概率取出一个球（即取出每个球的概率均为1/M），若这个球标号为k（k < N），则将它重新标号为k + 1；若这个球标号为N，则将其重标号为1。（取出球后并不将其丢弃） 现在你需要求出，经过K次这样的操作后，每个标号的球的期望个数。

Input#

第1行包含三个正整数N，M，K，表示了标号与球的个数以及操作次数。 第2行包含N个非负整数ai，表示初始标号为i的球有ai个。

Output#

应包含N行，第i行为标号为i的球的期望个数，四舍五入保留3位小数。

Sample Input#

2 3 2
3 0

Sample Output#

1.667
1.333

HINT#

【样例说明】#

第1次操作后，由于标号为2球个数为0，所以必然是一个标号为1的球变为标号为2的球。所以有2个标号为1的球，有1个标号为2的球。

第2次操作后，有1/3的概率标号为2的球变为标号为1的球（此时标号为1的球有3个），有2/3的概率标号为1的球变为标号为2的球（此时标号为1的球有1个），所以标号为1的球的期望个数为1/33+2/31 = 5/3。同理可求出标号为2的球期望个数为4/3。

【数据规模与约定】#

对于10%的数据，N ≤ 5, M ≤ 5, K ≤ 10；
对于20%的数据，N ≤ 20, M ≤ 50, K ≤ 20；
对于30%的数据，N ≤ 100, M ≤ 100, K ≤ 100；
对于40%的数据，M ≤ 1000, K ≤ 1000；
对于100%的数据，N ≤ 1000, M ≤ 100,000,000, K ≤ 2,147,483,647。

题解#

一看k的范围
就能看出要矩阵乘优化
易得矩阵为

然后我们发现n=1000过不了
但是我们发现这个矩阵是一个循环矩阵
只用维护第一行就可以了
降低到$n^2*log_2{k}$ 就可以跑了

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
using namespace std;
struct Martix
{
    double a[1005];
    int n;
    Martix(int x)
    {
        n = x;
        memset(a, 0, sizeof(a));
    }
    Martix operator*(const Martix &b)
    {
        Martix ans(n);
        ans.a[1] = 0;
        for (int i = 1; i <= n; i++)
        {
            for (int k = 1; k <= n; k++)
            {
                int t=(i-k+n+1)%n;
                if(!t) t+=n;
                ans.a[i] += a[k] * b.a[t];
            }
        }
        return ans;
    }
    Martix operator^(const int x)
    {
        Martix a = *this, ans(n);
        int k = x;
        ans.a[1] = 1;
        while (k)
        {
            if (k & 1)
                ans = ans * a;
            k >>= 1;
            a = a * a;
        }
        return ans;
    }
};
int a[1005];
double ans[1005];
int main(int argc, char const *argv[])
{
    int n, m, k;
    scanf("%d%d%d",&n,&m,&k);
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        scanf("%d", &a[i]);
    Martix K(n);
    K.a[1] = (double)1 - ((double)1 / m);
    K.a[2] = ((double)1 / m);
    K=K^k;
    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        for (int j = 1; j <= n; j++)
        {
            int t=(i+j-1)%n;
            if(!t) t+=n;
            ans[t] += K.a[i] * a[j];
        }
    }
    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        printf("%.3lf\n", ans[i]);
    }
    //while(1);
    return 0;
}