BZOJ3771: Triple - NekoMio's Blog

Description#

我们讲一个悲伤的故事。从前有一个贫穷的樵夫在河边砍柴。这时候河里出现了一个水神，夺过了他的斧头，说： “这把斧头，是不是你的？” 樵夫一看：“是啊是啊！” 水神把斧头扔在一边，又拿起一个东西问： “这把斧头，是不是你的？” 樵夫看不清楚，但又怕真的是自己的斧头，只好又答：“是啊是啊！” 水神又把手上的东西扔在一边，拿起第三个东西问： “这把斧头，是不是你的？” 樵夫还是看不清楚，但是他觉得再这样下去他就没法砍柴了。于是他又一次答：“是啊是啊！真的是！” 水神看着他，哈哈大笑道： “你看看你现在的样子，真是丑陋！” 之后就消失了。樵夫觉得很坑爹，他今天不仅没有砍到柴，还丢了一把斧头给那个水神。于是他准备回家换一把斧头。回家之后他才发现真正坑爹的事情才刚开始。水神拿着的的确是他的斧头。但是不一定是他拿出去的那把，还有可能是水神不知道怎么偷偷从他家里拿走的。换句话说，水神可能拿走了他的一把，两把或者三把斧头。樵夫觉得今天真是倒霉透了，但不管怎么样日子还得过。他想统计他的损失。樵夫的每一把斧头都有一个价值，不同斧头的价值不同。总损失就是丢掉的斧头价值和。他想对于每个可能的总损失，计算有几种可能的方案。注意：如果水神拿走了两把斧头a和b，(a,b)和(b,a)视为一种方案。拿走三把斧头时，(a,b,c),(b,c,a),(c,a,b),(c,b,a),(b,a,c),(a,c,b)视为一种方案。

Input#

第一行是整数N，表示有N把斧头。接下来n行升序输入N个数字Ai，表示每把斧头的价值。

Output#

若干行，按升序对于所有可能的总损失输出一行x y，x为损失值，y为方案数。

Sample Input#

Sample Output#

样例解释#

11 有两种方案是4+7和5+6，其他损失值都有唯一方案，例如4=4,5=5,10=4+6,18=5+6+7.

HINT#

所有数据满足：Ai<=40000

题解#

一把，两把或者三把

首先写出生成函数 $F(x) = x^{a_1}+x^{a_2}+x^{a_3}+...+x^{a_n}$
两把就是 $F^2(x)$ 减去 $B(x)=x^{2a_1}+x^{2a_2}+x^{2a_3}+...+x^{2a_n}$
三把就是 $F^3(x)$ 减去 $3*F(x)*B(x)$ 加上 $C(x)=x^{3a_1}+x^{3a_2}+x^{3a_3}+...+x^{3a_n}$ FFT优化乘法

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#include <cstdio>
2
#include <cstring>
3
#include <algorithm>
4
#include <cmath>
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using namespace std;
6
inline int read()
7
{
8
    int x=0,f=1;char ch=getchar();
9
    while (ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
10
    while (ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}
11
    return x*f;
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}
13
const double pi = acos(-1.);
14
struct Complex
15
{
16
    double x, y;
17
    Complex() { x = y = 0; }
18
    Complex(double a, double b) : x(a), y(b) {}
19
    Complex operator+(const Complex &a) { return Complex(x + a.x, y + a.y); }
20
    Complex operator-(const Complex &a) { return Complex(x - a.x, y - a.y); }
21
    Complex operator*(const Complex &a) { return Complex(x * a.x - y * a.y, x * a.y + y * a.x); }
22
    Complex operator*(const double a) { return Complex(x * a, y * a); }
23
    Complex Get() { return Complex(x, -y); }
24
};
25
double Inv;
26
const int MAXN = 5e5 + 5;
27
int N;
28
int rev[MAXN];
29
void FFt(Complex *a, int op)
30
{
31
    Complex wn, w, t;
32
    for (int i = 0; i < N; i++)
33
        if (i < rev[i])
34
            swap(a[i], a[rev[i]]);
35
    for (int k = 2; k <= N; k <<= 1)
36
    {
37
        wn = Complex(cos(pi / (k >> 1)), op * sin(pi / (k >> 1)));
38
        for (int j = 0; j < N; j += k)
39
        {
40
            w = Complex(1, 0);
41
            for (int i = 0; i < (k >> 1); i++, w = w * wn)
42
            {
43
                t = a[i + j + (k >> 1)] * w;
44
                a[i + j + (k >> 1)] = a[i + j] - t;
45
                a[i + j] = a[i + j] + t;
46
            }
47
        }
48
    }
49
    if (op == -1)
50
        for (int i = 0; i < N; i++)
51
            a[i] = a[i] * Inv;
52
}
53
Complex A[MAXN], B[MAXN], C[MAXN];
54
Complex tmp[MAXN];
55
long long ans[MAXN];
56
int m = 0;
57
int main()
58
{
59
    int n = read();
60
    for (int i = 1; i <= n; i++)
61
    {
62
        int x = read();
63
        ans[x]++;
64
        A[x].x = 1;
65
        B[2 * x].x = 1;
66
        C[3 * x].x = 1;
67
        m = max(m, 3 * x);
68
    }
69
    m = m + m + 1;
70
    N = 1;
71
    while (N < m)
72
        N <<= 1;
73
    for (int i = 1; i < N; i++)
74
        if (i & 1)
75
            rev[i] = (rev[i >> 1] >> 1) | (N >> 1);
76
        else
77
            rev[i] = (rev[i >> 1] >> 1);
78
    Inv = 1. / N;
79
    FFt(A, 1);
80
    for (int i = 0; i < N; i++) tmp[i] = A[i] * A[i];
81
    FFt(tmp, -1);
82
    for (int i = 0; i < N; i++) ans[i] += round((tmp[i].x - B[i].x) / 2);
83
    // for (int i = 0; i < N; i++)
84
    //     if (ans[i])
85
    //         printf ("%d %lld\n", i, ans[i]);
86
    // printf ("======================================\n");
87
    FFt(B, 1);
88
    for (int i = 0; i < N; i++) B[i] = B[i] * A[i];
89
    FFt(B, -1);
90
    for (int i = 0; i < N; i++) tmp[i] = A[i] * A[i] * A[i];
91
    FFt(tmp, -1);
92
    for (int i = 0; i < N; i++) ans[i] += round((tmp[i].x - B[i].x * 3 + C[i].x * 2) / 6);
93
    for (int i = 0; i <= m / 2; i++)
94
        if (ans[i])
95
            printf ("%d %lld\n", i, ans[i]);
96
    // while (1);
97
}