书

题目描述

Hazel有n本书，编号1为n到 ，叠成一堆。当她每次抽出一本书的时候，上方的书会因重力而下落，这本被取出的书则会被放置在书堆顶。
每次有pi的概率抽取编号为i的书。她每次抽书所消耗的体力与这本书在这堆中是第几本成正比。具体地，抽取堆顶的书所耗费体力值为1 ，抽取第二本耗费体力值为2 ，以此类推。

现在 想知道，在很久很久以后（可以认为几乎是无穷的），她每次抽书所耗费的体力的期望值是多少。
最终的答案显然可以表示成a/b的形式，请输出a*(b^-1)模1e9+7的值。

【输入格式】

第一行一个整数n
接下来n行，每行两个整数ai，bi，代表抽取第i本书的概率是ai/bi
保证所有书的概率和等于1

【输出格式】

输出一行一个整数，代表期望值

【输入样例1】

2
227494 333333
105839 333333

【输出样例1】

432679642

【输入样例2】

10
159073 999999
1493 142857
3422 333333
4945 37037
2227 111111
196276 999999
190882 999999
142721 999999
34858 999999
101914 999999

【输出样例2】

871435606

【数据规模与约定】

对于30%的数据，1<=n<=10。
对于100%的数据，1<=n<=1000,0<=ai<=bi,bi!=0。

题解

期望DP

P表示概率
E表示期望体力

$$ Ans = \sum_{i=1}^{n}{P_iE_i} $$
$$ = \sum_{i=1}^{n}{P_i(1+\sum_{j=1且就i!=j}^{n}{P_{抽到j比i晚}})}$$
$$ = \sum_{i=1}^{n}{P_i*(1+\sum_{j=1且j!=i}^{n}{\frac{P_j}{P_i+P_j}})}$$

#include <cstdio>
#include <cstring>
using namespace std;
#define LL long long
const LL P = 1e9 + 7;
LL pow_mod(LL a, int b)
{
    LL ans = 1;
    while (b)
    {
        if (b & 1)
            ans = ans * a % P;
        b >>= 1;
        a = a * a % P;
    }
    return ans;
}
LL q[1005];
int main()
{
    int n;
    scanf("%d", &n);
    LL a, b;
    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        scanf("%lld%lld", &a, &b);
        q[i] = a * pow_mod(b, P - 2) % P;
    }
    LL ans = 0;
    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        LL sum = 0;
        for (int j = 1; j <= n; j++)
        {
            if (j == i)
                continue;
            sum = (sum + q[j] * pow_mod(q[i] + q[j], P - 2) % P) % P;
        }
        ans = (ans + (1 + sum) * q[i]) % P;
    }
    printf("%lld", ans);
}