Description
有M个球，一开始每个球均有一个初始标号，标号范围为1～N且为整数，标号为i的球有ai个，并保证Σai = M。
每次操作等概率取出一个球（即取出每个球的概率均为1/M），若这个球标号为k（k < N），则将它重新标号为k + 1；若这个球标号为N，则将其重标号为1。（取出球后并不将其丢弃）
现在你需要求出，经过K次这样的操作后，每个标号的球的期望个数。
Input
第1行包含三个正整数N，M，K，表示了标号与球的个数以及操作次数。
第2行包含N个非负整数ai，表示初始标号为i的球有ai个。
Output
应包含N行，第i行为标号为i的球的期望个数，四舍五入保留3位小数。
Sample Input
2 3 2
3 0
Sample Output
1.667
1.333
HINT
【样例说明】
第1次操作后，由于标号为2球个数为0，所以必然是一个标号为1的球变为标号为2的球。所以有2个标号为1的球，有1个标号为2的球。
第2次操作后，有1/3的概率标号为2的球变为标号为1的球（此时标号为1的球有3个），有2/3的概率标号为1的球变为标号为2的球（此时标号为1的球有1个），所以标号为1的球的期望个数为1/33+2/31 = 5/3。同理可求出标号为2的球期望个数为4/3。
【数据规模与约定】
对于10%的数据，N ≤ 5, M ≤ 5, K ≤ 10；
对于20%的数据，N ≤ 20, M ≤ 50, K ≤ 20；
对于30%的数据，N ≤ 100, M ≤ 100, K ≤ 100；
对于40%的数据，M ≤ 1000, K ≤ 1000；
对于100%的数据，N ≤ 1000, M ≤ 100,000,000, K ≤ 2,147,483,647。
题解
一看k的范围
就能看出要矩阵乘优化
易得矩阵为
$$
\begin{bmatrix}
1-\frac{1}{m} & \frac{1}{m} & 0 & \cdots & 0 \\
0 & 1-\frac{1}{m} & \frac{1}{m} &\cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
\frac{1}{m} & 0 & 0 & \cdots & 1-\frac{1}{m} \\
\end{bmatrix}
$$
然后我们发现n=1000过不了
但是我们发现这个矩阵是一个循环矩阵
只用维护第一行就可以了
降低到$ n^2*log_2{k} $
就可以跑了
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
using namespace std;
struct Martix
{
double a[1005];
int n;
Martix(int x)
{
n = x;
memset(a, 0, sizeof(a));
}
Martix operator*(const Martix &b)
{
Martix ans(n);
ans.a[1] = 0;
for (int i = 1; i <= n; i++)
{
for (int k = 1; k <= n; k++)
{
int t=(i-k+n+1)%n;
if(!t) t+=n;
ans.a[i] += a[k] * b.a[t];
}
}
return ans;
}
Martix operator^(const int x)
{
Martix a = *this, ans(n);
int k = x;
ans.a[1] = 1;
while (k)
{
if (k & 1)
ans = ans * a;
k >>= 1;
a = a * a;
}
return ans;
}
};
int a[1005];
double ans[1005];
int main(int argc, char const *argv[])
{
int n, m, k;
scanf("%d%d%d",&n,&m,&k);
for (int i = 1; i <= n; i++)
scanf("%d", &a[i]);
Martix K(n);
K.a[1] = (double)1 - ((double)1 / m);
K.a[2] = ((double)1 / m);
K=K^k;
for (int i = 1; i <= n; i++)
{
for (int j = 1; j <= n; j++)
{
int t=(i+j-1)%n;
if(!t) t+=n;
ans[t] += K.a[i] * a[j];
}
}
for (int i = 1; i <= n; i++)
{
printf("%.3lf\n", ans[i]);
}
//while(1);
return 0;
}