NekoMio's Blog

美しいものが起こることを常に信じている

  1. 1. Description
  2. 2. Input
  3. 3. Output
  4. 4. Sample Input
  5. 5. Sample Output
  6. 6. HINT
  • 题解
  • Description

    根据一些书上的记载,上帝的一次失败的创世经历是这样的:
    第一天,上帝创造了一个世界的基本元素,称做“元”。
    第二天,上帝创造了一个新的元素,称作“$\alpha$”。“$\alpha$”被定义为“元”构成的集合。容易发现,一共有两种不同的“$\alpha$”。
    第三天,上帝又创造了一个新的元素,称作“$\beta$”。“$\beta$”被定义为“$\alpha$”构成的集合。容易发现,一共有四种不同的“$\beta$”。
    第四天,上帝创造了新的元素“$\gamma$”,“$\gamma$”被定义为“$\beta$”的集合。显然,一共会有$16$种不同的“$\gamma$”。
    如果按照这样下去,上帝创造的第四种元素将会有$65536$种,第五种元素将会有$2^{65536}$种。这将会是一个天文数字。
    然而,上帝并没有预料到元素种类数的增长是如此的迅速。他想要让世界的元素丰富起来,因此,日复一日,年复一年,他重复地创造着新的元素……
    然而不久,当上帝创造出最后一种元素“$\theta$”时,他发现这世界的元素实在是太多了,以致于世界的容量不足,无法承受。因此在这一天,上帝毁灭了世界。
    至今,上帝仍记得那次失败的创世经历,现在他想问问你,他最后一次创造的元素“$\theta$”一共有多少种?
    上帝觉得这个数字可能过于巨大而无法表示出来,因此你只需要回答这个数对$p$取模后的值即可。
    你可以认为上帝从“$\alpha$”到“$\theta$”一共创造了$10^9$次元素,或$10^{18}$次,或者干脆$\infty$次。
    一句话题意:

    $$2^{2^{2^{2^{\cdots}}}}$$
    对$p$取模后的值

    Input

    接下来$T$行,每行一个正整数$p$,代表你需要取模的值

    Output

    $T$行,每行一个正整数,为答案对$p$取模后的值

    Sample Input

    1
    2
    3
    4
    3
    2
    3
    6

    Sample Output

    1
    2
    3
    0
    1
    4

    HINT

    对于$100%$的数据,$T<=1000$,$p<=10^7$

    题解

    根据扩展欧拉定理
    $$x^b \equiv x^{b MOD \phi(p) + \phi(p)} (MOD P)$$
    对于所有的$P$都成立
    然后我们就可以做了
    已知任何数模$1$等于$0$
    递归求解

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    #include <cstdio>
    #include <cstring>
    #include <algorithm>
    using namespace std;
    inline int read()
    {
    int x=0,f=1;char ch=getchar();
    while (ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
    while (ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}
    return x*f;
    }
    long long pow_mod(long long a, int b, int MOD)
    {
    long long ans = 1;
    while (b)
    {
    if (b & 1) ans = ans * a % MOD;
    b >>= 1;
    a = a * a % MOD;
    }
    return ans;
    }
    int phi(int x)
    {
    int ans = x;
    for (int i = 2; i * i <= x; i++)
    {
    if (x % i == 0)
    {
    while (x % i == 0) x /= i;
    ans = ans - ans / i;
    }
    }
    if (x != 1) ans = ans - ans / x;
    return ans;
    }
    int Calc(int P)
    {
    if (P == 1) return 0;
    int x = phi(P);
    return (int)pow_mod(2, Calc(x) + x, P);
    }
    int main()
    {
    int T = read();
    while (T--)
    {
    int p = read();
    printf ("%d\n", Calc(p));
    }
    }

    本文作者 : NekoMio
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    本文链接 : https://www.nekomio.com/2018/03/24/141/

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